задачи

1. Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми равно $S$, навстречу друг другу идут два человека с постоянными скоростями $v_A$ и $v_B$, соответственно. Одновременно с началом движения с плеча первого пешехода стартует со скоростью $w$ муха *, быстро долетает до второго человека, разворачивается и летит к первому, снова мгновенно развернувшись летит ко второму и т.д. Спрашивается: какое расстояние пролетит муха до момента встречи пешеходов?

2. Доказать, что сумма $N$ векторов с общим началом в центре правильного $N$-угольника, с концами в его вершинах, равна $\mathbf{0}$.

3. В куче находятся $50$ спичек. Два игрока по очереди могут брать из кучи от $1$ до $6$ спичек. Противники видят все ходы друг друга. Выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Найти выигрывающую стратегию.

4. Среди $25$ золотых монет есть одна фальшивая, вес которой несколько меньше, чем вес настоящей. Используя механические чашечные весы без гирь определить фальшивую монету за наименьшее количество взвешиваний. Обобщить решение на случай $n$ монет.

5. В хранилище имеются $n$ мешков с золотыми монетами, среди которых есть один мешок с фальшивыми монетами, по внешнему виду не отличающихся от настоящих. Вес настоящей монеты известен, а фальшивая монета на $1$ грамм её легче. С помощью одного взвешивания на цифровых весах определить мешок с фальшивыми монетами.