теорема архимеда о шаре и цилиндре

Архимед (Αρχιμηδης) — без сомнения, один из самых гениальных математиков всех времён и народов. Многие его математические и технические работы намного опередили свое время. Также Архимед является основоположником статики, гидростатики и математической физики вообще, он был выдающимся астрономом и замечательным инженером [3]. Древнегреческий историк Плутарх в своих «Сравнительных жизнеописаниях» (биография Марцелла) [4] пишет:

во всей геометрии не найти более трудных и сложных задач, объясненных посредством более простых и прозрачных основных положений. Некоторые приписывают это природному дарованию Архимеда, другие же считают, что лишь благодаря огромному труду все до малейших частностей у него кажется возникшим легко и без всякого труда. Собственными силами вряд ли кто найдет предлагаемое Архимедом доказательство, но стоит углубиться в него — и появляется уверенность, что ты и сам мог бы его открыть: таким легким и быстрым путем ведет к цели Архимед.

Наверное, трудно дать более краткую и ясную характеристику настоящему математическому таланту, чем это сделал Плутарх, — философ, писатель, римский прокуратор провинции Ахея и жрец храма Аполлона.

Рассмотрим задачу об определениии объёма шара, впервые решённую Архимедом и которую, по всей видимости, он сам считал самым выдающимся своим достижением в математике: чертеж шара, вписанного в цилиндр, был помещен на его надгробии. Решение основано на известных формулах для объёмов цилиндра: $\pi R^2 H$ и конуса: $\pi R^2 H/3$, с радиусами основания $R$ и высотой $H$. Решение Архимеда «просто, как и всё гениальное», и потому красиво.

Вначале найдём объём конуса, пользуясь методом исчерпывания*, сформулированным Евдоксом Книдским (IV в. до н. э.) и далее развитым Архимедом. Конус аккуратно нарезаем (мысленно, конечно) колечками (цилиндрами) малой высоты $\varepsilon$, как показано на рисунке. Величина $\varepsilon = H/n$, где $n$ — количество колечек, настолько мала (и станет ещё меньше), что наши колечки по форме будут мало отличаться от тех, что изображены на рисунке, — некоторая «шершавость» поверхности далее, с уменьшением $\varepsilon$ (увеличением числа $n$), быстро сойдёт на нет. Таким образом, разница между объёмом конуса и объёмом нашей замечательной конструкции из колец с уменьшением $\varepsilon$, или, что то же самое, с увеличением $n$, будет становиться всё меньше и меньше, откуда и происходит название метода.

К определению объёма конуса

В соответствии с рисунком, пользуясь подобием треугольника, выделенного цветом, и ∆$\,OAB$, получаем $$ \frac{H}{\varepsilon} = \frac{R}{\delta} $$ откуда $\delta = \varepsilon R/H$. Поэтому объём $k$-го по порядку (для определённости считаем их снизу) колечка (цилиндра) равен \begin{align} & V_k = (R - \delta k)^2 \pi \varepsilon = \notag \\ & = \left( R - \frac{\varepsilon R}{H} k \right)^2 \pi \varepsilon= \notag\\ & = \frac{\pi R^2 H}{n} \left( 1 - \frac{k}{n} \right)^2 = \notag\\ & = \frac{\pi R^2 H}{n^3} ( n - k )^2. \end{align}

А общий объём всех колечек равен \begin{align} & \frac{\pi R^2 H}{n^3} \sum_{k=1}^{n}( n - k )^2 = \notag \\ & = \frac{\pi R^2 H}{n^3} \sum_{l=0}^{n - 1} l^2 = \notag \\ & = \frac{\pi R^2 H}{n^3} \Big( \frac{1}{3} (n-1)^3 + \notag \\ & + \frac{1}{2} (n - 1)^2 + \frac{1}{6}(n - 1) \Big). \label{Archimed_formula} \end{align} Здесь использована известная формула для суммирования квадратов $$ \sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{1}{3} N^3 + \frac{1}{2} N^2 + \frac{1}{6} N, $$ которую не трудно доказать по индукции или вывести другим путём.

Из соотношения (\ref{Archimed_formula}) при $\varepsilon \rightarrow 0$, или при $n \rightarrow \infty$ (Архимед, конечно, пользовался предельным переходом в неявной форме, но все его рассуждения имеют достаточно строгую форму), легко получается формула для объёма конуса.

Решение задачи Архимеда о шаре

Теперь всё готово для решения задачи. Цилиндр, конус, у которых $R = H = 1$, и половину шара, также единичного радиуса, нарезаем колечками малой высоты $\varepsilon$, как показано на рисунке. Для всех трёх тел вычислим объём колечек, находящихся на высоте $h$, получим $$ \pi \varepsilon, \quad \pi (1 - h)^2 \varepsilon, \quad \pi\left( 1 - (1 - h)^2 \right) \varepsilon $$ соответственно, для цилиндра, конуса и полушара. Для полушара радиус колечка находится из теоремы Пифагора: $\sqrt{1 - (1 - h)^2}$. Таким образом, в пределе при неограниченном уменьшении $\varepsilon$ имеем

Теорема 1.1 (Архимед) Объём шара радиуса $1$ равен $\dfrac{4}{3}\pi$.

Не трудно видеть, что идея метода Архимеда решения данной задачи — это не что иное, как интегрирование. Блестящие идеи Евдокса и Архимеда получили своё дальнейшее развитие спустя 1800 лет. Трудно не согласиться, что

Архимеда будут помнить, даже когда забудут Эсхила потому, что языки умирают, тогда как математические идеи бессмертны. Возможно, «бессмертны» — глупое слово, но, вероятно, математик имеет лучший шанс на бессмертие, что бы оно ни означало. [1]