брахистохрона

В 1696 г. швейцарским математиком Иоганном Бернулли (Johann Bernoulli) была поставлена следующая задача:

В вертикальной плоскости даны две точки $A$ и $B$, не лежащие на одной вертикальной оси. Определить кривую, спускаясь по которой под влиянием собственной тяжести, материальная точка, начав двигаться из точки $A$, дойдет до точки $B$ за кратчайшее время.

Искомая кривая была впоследствии названа брахистохрона (от греч. βραχιστος — кратчайший и χρονος — время) — траектория скорейшего спуска. Задача была разными способами независимо друг от друга решена Лейбницем, Якобом Бернулли (братом И. Бернулли), Г. Лопиталем, И. Ньютоном и самим Иоганном Бернулли. Это была первая в истории проблема вариационного исчисления — раздела математики, который в то время ещё не был создан.

Решение Я. Бернулли выделялось из всех представленных как своей нетривиальностью, так и общностью применяемых методов [10]. Первым принципом, из которого исходил Я. Бернулли при решении, был тот, что если кривая имеет какое-либо свойство, то тем же свойством должна обладать и любая её часть. Эта идея позволила разбить одну сложную задачу на несколько более простых. Второй принцип — весьма оригинальная идея применения законов оптики в механике.

Закон оптики, о котором идёт речь, называют принципом Ферма:

Из всех возможных путей свет выбирает тот путь, на который требуется наименьшее время.

Из этого одного единственного постулата вытекают все законы геометрической оптики, в частности, закон преломления света на границе двух сред, открытый голландцем В. Снеллом (van Snel van Royen) в 1621 году.

К закону Снелла

Луч света из среды, в которой он имел скорость $v_1$, попадает в среду, где его скорость равна $v_2$. Найдём, применяя принцип Ферма, как связаны величины $v_1$, $v_2$ и $\alpha_1$, $\alpha_2$ (см. рис). Время, необходимое для прохождения луча света от точки $A$ до точки $B$, равно $$ T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (c - x)^2}}{v_2}. $$ В соответствии с принципом Ферма нужно найти минимум функции $T(x)$, для чего требуется решить уравнение $$ \frac{dT}{dx} = 0, $$ откуда получим $$ \frac{x}{v_1 \sqrt{a^2 + x^2} } = \frac{c-x}{v_2 \sqrt{b^2 + (c - x)^2}}, $$ или, что то же самое, $$ \frac{\sin \alpha_1}{v_1} = \frac{\sin \alpha_2}{v_2} $$

Обращаясь непосредственно к решению задачи, разобъём область, в которой лежит путь катящейся точки, на $n$ полос ширины $h$ (см. рис) и предположим, что скорость* точки меняется скачками на границах полос, оставаясь постоянной внутри каждой области разбиения. Тогда скорость будет последовательно принимать следующие значения: $v_n = \sqrt{2g n h}$, $v_{n-1} = \sqrt{2g (n-1)h}$, $\ldots$ $v_1 = \sqrt{2g h}$, (полосы разбиения считаем снизу), а точка двигаться по ломаной линии. При этом чем больше число $n$ разбиений (и, соответственно, меньше величина $h$) будет браться, тем менее построенная ломаная линия будет отличаться от искомой кривой.

К решению задачи о брахистохроне

Вспоминая закон Снелла и применяя его к материальной точке, получим $$ \frac{\sin \alpha_{i}}{\sin \alpha_{i+1}} = \frac{\sqrt{2g ih}}{\sqrt{2g (i+1)h}}, $$ где $i = 1, 2, \ldots , n.$ Таким образом, имеем $$ \frac{\sin \alpha_1}{\sqrt{h}} = \frac{\sin \alpha_2}{\sqrt{2h}} = \ldots = \frac{\sin \alpha_n}{\sqrt{nh}}, $$ т. е. отношение синуса угла между любым звеном ломаной и вертикалью к корню квадратному из расстояния соотвествующего слоя от верхней линии разбиения есть величина постоянная. В пределе при $n \rightarrow \infty$ направление каждого звена ломаной перейдёт в касательную к искомой кривой, для которой будет, следовательно выполняться соотношение \begin{equation} \label{cycloida_criteria} \sin \alpha = c \sqrt{y}, \end{equation} где $c$ — коэффициент пропорциональности, $\alpha$ — угол между касательной к кривой и вертикалью. Последнее условие однозначно определяет кривую, известную как циклоида. Таким образом, кривая наискорейшего спуска является циклоидой.

Нам осталось показать, что соотношение (\ref{cycloida_criteria}) необходимо и достаточно для того, чтобы кривая, ему удовлетворяющая, была циклоидой. Циклоида представляет собой траекторию, описываемую точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Для удобства обозначим угол между касательной к циклоиде и вертикалью через $\beta / 2$, угол наклона касательной к горизонтали — $\gamma$, радиус «производящей» окружности обозначим $r$ (см. рис).

Циклоида

Тогда уравнение циклоиды будет иметь вид \begin{eqnarray} & x = r( \varphi - \sin \varphi), \nonumber\\ & y = r(1 - \cos \varphi), \label{cycloida} \end{eqnarray} а условие \eqref{cycloida_criteria} перепишется так: \begin{equation} \label{cycloida_criteria_1} \sin \frac{\varphi}{2} = \frac{1}{\sqrt{2r}} \sqrt{y}. \end{equation}

Поскольку $1 - \cos \beta = 2 \sin^2(\beta/2)$, из уравнения (\ref{cycloida}) сразу следует условие (\ref{cycloida_criteria_1}). Обратно, имеем $$ \gamma = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}, \qquad \mathrm{tg} \gamma = \mathrm{ctg}\frac{\varphi}{2}. $$ Следовательно, $$ \frac{dy}{dx} = \mathrm{ctg}\frac{\varphi}{2}, $$ откуда $$ \frac{d\varphi}{dx}\frac{dy}{d\varphi} = \mathrm{ctg}\frac{\varphi}{2}, \quad \frac{d\varphi}{dx} r \sin \varphi = \mathrm{ctg}\frac{\varphi}{2} $$ и, после несложных преобразований, имеем простое дифференциальное уравнение $$ \frac{dx}{d\varphi} = r(1 - \cos \varphi), $$ решение которого с учётом начального условия $x(0) = 0$, совпадает с первым уравнением из системы (\ref{cycloida}), задающей циклоиду.