неравенства чебышева

Приведённое выше рассуждение типично для теории распределения простых в том отношении, что даже довольно хитроумные построения очень часто приводят в итоге к весьма слабым результатам. Замечательным исключением являются оценки для функции распределения простых чисел $\pi(x)$, найденные русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым. Неравенства Чебышёва это — по существу, первое со времён Евклида существенное продвижение в теории распределения простых чисел в натуральном ряду. Эта его работа, как и многие другие [7], до сих пор поражает своим «остроумием и проникновением в существо вопроса» (И. М. Виноградов, Б. Н. Делоне).

Первый шаг на пути к получению оценок для $\pi(x)$ состоит в замене этой крайне «неудобной» функции на другие, работать с которыми будет много легче.

Определение 4.1. Функциями Чебышёва называют функции $$ \theta(x) = \sum_{p \, \le \, x} \ln p, \qquad \psi(x) = \sum_{p^{k} \, \le \, x} \ln p, $$ где суммы берутся по всем простым числам, не превосходящим вещественного $x$ и по всем степеням простых, не превосходящим $x$, соответственно.

Эти функции, несмотря на некоторую кажущуюся сложность в их определении, во многих вопросах теории распределения простых чисел оказываются более предпочтительны, чем $\pi(x)$.

Функции $\pi(x) \ln x /x$, $\psi(x)/x$ и $\theta(x)/x$.

Асимптотическое поведение $\theta(x)$, $\psi(x)$ и функции $\pi(x)$ тесно связаны. Точнее

Теорема 4.1. Пусть $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ и $\Lambda_1$, $\Lambda_2$, $\Lambda_3$ обозначают соответственно нижние и верхние пределы при $x \rightarrow \infty$ функций \begin{equation} \label{CHEB_l_L} \frac{\theta(x)}{x}, \; \frac{\psi(x)}{x}, \; \frac{\pi(x)}{x/\ln x} \end{equation} тогда $$ \lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} \stackrel{d}{=}\lambda, \Lambda_{1}= \Lambda_{2}=\Lambda_{3} \stackrel{d}{=} \Lambda. $$

Непосредственно из этой теоремы вытекает важное

Следствие 4.1. Если одна из функций (\ref{CHEB_l_L}) имеет конечный предел, то и две другие имеют тот же предел.

Следующий шаг наших рассуждений — тождество Чебышёва \begin{equation}\label{cheb_tojd} \psi(x) + \psi\left( \frac{x}{2}\right) + \ldots = \ln[x]! \end{equation}

Оценки для функции распределения простых $\pi(x)$ получаются из данных утверждений с помощью элементарных* рассуждений.

Теорема 4.2 (Чебышёв) Существуют положительные вещественные константы $a$, $A$, такие, что $a \lt A$ и выполняются неравенства \begin{equation}\label{cheb_neqv_1} a \frac{x}{\ln x} \lt \pi(x) \lt A \frac{x}{\ln x} \end{equation} или, применительно к $n$-му простому числу, найдутся положительные вещественные константы $b$, $B$, такие, что $b \lt B$ и справедливы неравенства \begin{equation}\label{cheb_neqv_3} b n \ln(n) \lt p_n \lt B n \ln(n). \end{equation}

Значения констант, определенных Чебышевым $$ a = 0,92129, \quad A = 1,10555, $$ позволяют также в качестве следствия получить доказательство т.н. постулата Бертрана: при $n>3$ между натуральными числами $n$ и $2n-2$ находится по крайней мере одно простое число. Подробный вывод всех перечисленных утверждений см. в [8].